据说是小学六年级的数学题，求图中阴影（暗色）部分的面积，已知半圆的半径为4。

图：题目（求暗色部分面积）

不知真假。

为了确定小学生能不能解出来，我准备用最笨的但绝对可靠的办法找出题目答案，看它是不是一个看上去“很简单”的结果。

阴影部分是一条斜线、一个半圆与x轴围出的那块区域。分别列出其函数，用方程求出交点。

请出数学家 Mathematica.

图：题目分解为求曲线与x轴的面积

交点为 2/5 r（这个值倒是很简单，应该有简单的解法）。于是我们可以用分段函数表示那段曲线，最后求积分即可。

图：积分求面积

没想到Mathematica居然求不出这个分段函数的（符号）积分；以为是自己用错了方法，于是试了下求圆弧的积分，是没问题的。最后只有手动分段求积分再相加。

• 结果是：32/5 + 4 Pi - 16 ArcTan(2)
• 等效结果：32/5 - 4 Pi + 16 ArcTan(1/2)
• 近似值是：1.25199

从这个结果可以推测，这不是一道小学生可以得出准确解的题目。除非奥数班已经学了三角函数。

不同人的不同解法可能有：

• 对于普通小学生，可以算出直线和圆弧的交点位置（即 2/5 r 处的那个）；
• 对于学了三角函数的中学生，可以通过求扇形面积，最后得出精确解；
• 对于学了微积分的大学生，可以用微积分求解（本文的方法）；
• 对于码农，可以用蒙特卡罗法求面积（数值解）；
• 还可以用CAD类软件测量不规则区域的面积（也是数值解）。