查查知识网

角平分线的性质 平分线的定理

发布者:金原
导读初中数学角平分线的性质,搞懂了就是为中考加分!角平分线的性质如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角。在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图,即PB=PA为什么呢?我

初中数学:角平分线的性质,搞懂了就是为中考加分!

角平分线的性质:

如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图,即PB=PA

为什么呢?

我们一起求证一下。

以OP为轴,反折,得OA=OB

在△BOP和△AOP中

OA=OB

∵∠BOP=∠AOP

OP=OP,

∴△BOP≌△AOP(SAS)

PB=PA

当我们做题时,当知道在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等时,在题中不需要证明为什么相等?这是角平分线的性质。

我们看看例题:

【例2】(1)证明:三角形的三个角的角平分线交于一点。

证明三个角交于一点,是比较难的,但两条不平行的直线是交于一点。

如图:OA是∠A的平分线,OB是∠B的平分线,它们不平行,即它们是会交于一点O。若∠C的角平分线OC也交于O点,那么三角形的三个角的角平分线就交于一点了。

实际上,已知:∠1=∠2,∠3=∠4,求证:∠5=∠6.

既然是角平分线,那么我们先用角平分线的性质来解题,看是否可以解答。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

所以分别做OP⊥AB,ON⊥BC,OM⊥AC,垂足分别为P,N,M点

在△APO和△AMO中

∠1=∠2

∠APO=∠AMO=90°

AO=AO

∴△APO≌△AMO(AAS)

∴OP=OM

同理△BPO≌△BNO(AAS)

∴OP=ON

∴OM=ON

在△COM和△CON中

∠CNO=∠CMO=90°

OM=ON

CO=CO

∴△COM≌△CON(HL)

∠5=∠6

∴三角形的三个角的角平分线交于一点