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secx等于什么 secx导数是什么

发布者:李龙东
导读搜索创作挑战赛突破对两类换元积分法的理解,我们可以通过对它们的比较来实现,如在运用中的对比。先从它们在运用中的的一般步骤入手第一换元积分需要凑微分:将不定积分化为∫g)φ’dx

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突破对两类换元积分法的理解,我们可以通过对它们的比较来实现,如在运用中的对比。先从它们在运用中的的一般步骤入手:

(1)第一换元积分需要凑微分:

将不定积分化为∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)的形式;

而第二换元积分法没有这个要求。

(2)第一换元积分法第一换元积分法换元的形式是,记u=φ(x),然后直接得到换元后的不定积分∫g(u)du.

而第二换元积分换元的形式是,记x=φ^(-1)(u),有时候我们还要确定u的定义域,并且化得u=φ(x)。这里有一个关键的问题,两种换元法引入的函数,形式上是互为反函数,然而它们真的是互为反函数吗?一会儿例题会给我们答案。

(3)第二换元积分法需要把x=φ^(-1)(u)代入原被积函数,并且求dx=du/(φ′(x)),才能转化得到换元后的不定积分∫g(u)du.

而且在求这个不定积分之后,还要把x关于u=φ(x)代入,才能得到最后的结果:

∫g(u)du=∫f(φ^(-1)(u))(φ^(-1)(u))’du=F(φ^(-1)(u))+C=F(x)+C.

(4)第一换元积分法在最后代入u=φ(x)的函数,直接得到结果:

∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.

下面通过一道例题对它们进行比较。

例:分别用两种换元法求∫dx/(x^2√(x^2-1)).

解1:运用第一换元积分法.

原积分=-∫d(1/x)/√(x^2-1)=-∫(1/x*d(1/x))/√(1-(1/x)^2 ), 【先把1/x^2凑到微分中,注意,前面有一个负号,因为(1/x)&39;=-1/x^2。然后再分子分母同时除以x

记u=1/x,则

原积分=-∫udu/√(1-u^2 )=-∫udu/√(1-u^2 )=√(1-u^2 )+C【最后运用的是一个常用的不定积分公式,如果不理解,对结果求导,就会明白了】

=√(1-(1/x)^2 )+C= 1/x *√(x^2-1)+C. 【最后将u=1/x代入,还可以化简一下,得到最后的结果。熟悉的情况下,步骤可以大大简化】

解2:运用第二换元积分法.

令x=secu, 0这里要是把函数x看作是第一换元法u的反函数,就设x=u分之一,但这样显然是行不通的】

x^2√(x^2-1)=(secu)^2·tanu,dx=d(secu)=secu·tanu. 【这里只转化被积函数的分母,因为分子等于1】

原积分=∫du/secu=∫cosudu=sinu+C=√(1-1/(secu)^2)+C

=√(1-1/x^2)+C= 1/x*√(x^2-1)+C.

和运用第一换元积分法得到的结果是一致的。通过运用中的比较,你对两类换元积分法有更深的理解了吧。