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突破对两类换元积分法的理解，我们可以通过对它们的比较来实现，如在运用中的对比。先从它们在运用中的的一般步骤入手：
(1)第一换元积分需要凑微分:
将不定积分化为∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)的形式；
而第二换元积分法没有这个要求。
(2)第一换元积分法第一换元积分法换元的形式是，记u=φ(x)，然后直接得到换元后的不定积分∫g(u)du.
而第二换元积分换元的形式是，记x=φ^(-1)(u)，有时候我们还要确定u的定义域，并且化得u=φ(x)。这里有一个关键的问题，两种换元法引入的函数，形式上是互为反函数，然而它们真的是互为反函数吗？一会儿例题会给我们答案。
(3)第二换元积分法需要把x=φ^(-1)(u)代入原被积函数，并且求dx=du/(φ′(x))，才能转化得到换元后的不定积分∫g(u)du.
而且在求这个不定积分之后，还要把x关于u=φ(x)代入，才能得到最后的结果：
∫g(u)du=∫f(φ^(-1)(u))(φ^(-1)(u))’du=F(φ^(-1)(u))+C=F(x)+C.
(4)第一换元积分法在最后代入u=φ(x)的函数，直接得到结果：
∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.
下面通过一道例题对它们进行比较。
例：分别用两种换元法求∫dx/(x^2√(x^2-1)).
解1：运用第一换元积分法.
原积分=-∫d(1/x)/√(x^2-1)=-∫(1/x*d(1/x))/√(1-(1/x)^2 ), 【先把1/x^2凑到微分中，注意，前面有一个负号，因为(1/x)&39;=-1/x^2。然后再分子分母同时除以x】
记u=1/x，则
原积分=-∫udu/√(1-u^2 )=-∫udu/√(1-u^2 )=√(1-u^2 )+C【最后运用的是一个常用的不定积分公式，如果不理解，对结果求导，就会明白了】
=√(1-(1/x)^2 )+C= 1/x *√(x^2-1)+C. 【最后将u=1/x代入，还可以化简一下，得到最后的结果。熟悉的情况下，步骤可以大大简化】
解2：运用第二换元积分法.
令x=secu, 0
x^2√(x^2-1)=(secu)^2·tanu，dx=d(secu)=secu·tanu. 【这里只转化被积函数的分母，因为分子等于1】
原积分=∫du/secu=∫cosudu=sinu+C=√(1-1/(secu)^2)+C
=√(1-1/x^2)+C= 1/x*√(x^2-1)+C.
和运用第一换元积分法得到的结果是一致的。通过运用中的比较，你对两类换元积分法有更深的理解了吧。