【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x?,x?，那么x?+x?=-b/a,x?×x?=c/a

说明：（1）定理成立的条件b2-4ac≥0

（2）注意公式x?+x?=-b/a中的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处

（1）计算对称式的值

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

【练习】

1．设x?，x?是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x?2＋x?2的值为_________

2．已知x?，x?是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x?＋x?=____，x?·x?＝____，（x1－x2）2＝____

3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;

4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;

5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;

（2）构造新方程

理论：以两个数x?,x?为根的一元二次方程是x2-(x?+x?)x+x?x?=0。

例 解方程组 x+y=5

xy=6

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z?=2,z?=3

∴原方程组的解为 x?=2,y?=3

x?=3,y?=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

【典型例题】

已知关于x的方程x2-(k+1)x+?k2+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．

(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根x?,x?,满足∣x?∣=x?．

分析：

(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x?=x2＞0，二是-x?=x?，所以要分类讨论．

说明：

根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b2-4ac≥0．

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