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有理数和无理数的区别 无理数包括什么

发布者:金熙东
导读根号2说你怎么比我还无理取闹昨天,超模君和小天发现了隐藏着的根号2。小天一脸嫌弃怎么说的好像是你发现似的事实上,√2只是一个最普通的无理数。或者可以说,根号2是最“有理”的无理数了。啥情

根号2说:

你怎么比我还无理取闹

昨天,超模君和小天发现了隐藏着的根号2(传送门)。

小天一脸嫌弃:怎么说的好像是你发现似的

事实上,√2只是一个最普通的无理数。或者可以说,根号2是最“有理”的无理数了。

啥情况,为什么说√2是无理数中最有理的呢?

原来在这个庞大的无理数家族中,比√2更“无理”的数多了去了。。。(科学是无止境的)

此外,√2是方程 x2 - 2 = 0 的一个解,由此可知,称√2是一个“代数数”。

代数数:如果某个数能成为一个整系数多项式方程(a nn10

显然,那些可以用根号表示出来的无理数,都属于代数数。所有有理数都是代数数,因为它满足方程 nx-m =0(m,n为整数 ,n≠0)。

小天举手:超模君,那也就是所有数都是代数数咯?

超模君:小天,你看看这个数:0.110001000000000000000001…(其中小数点后面第 1,2,6,24,120,... 位是 1,其余位都是 0),你看看能不能用这个数找一个方程?

小天:超模君,你这不是在逗我吗。。。我要找模友来帮忙

超模君:别别别,不打扰我们的模友了,还是我来跟你说吧!类似刚才这种数呢,我们叫做“超越数”,而这种数是无法用方程式来表示的(所以除了代数数以外的数都叫超越数)。

刚才说的我提的数字0.110001000000000000000001…(其中小数点后面第 1,2,6,24,120,... 位是 1,其余位都是 0)也就是史上第一个超越数!

小天:天哪,这个数到底是什么人发现的!

刘维尔

原来在1844年,法国数学家刘维尔构造出这个数(这种构造性的做法是数学证明中一个常用的方法),潜心研究,终于发现,这个数不可能满足任何整系数代数方程,由此证明了它不是一个代数数,而是一个超越数。因此,第一个超越数也称“刘维尔数”。

在1873 年,法国数学家夏尔·埃尔米特也证明出自然底数 e是一个超越数。

夏尔·埃尔米特

1882 年,德国数学家林德曼证明了圆周率 π 是一个超越数。(从此,π的神秘面纱也慢慢揭开。)

在研究超越数的过程中,莱昂哈德·欧拉

这个猜想已被证明,于是可以断定e、π是超越数

像无理数的发现一样,超越数的证明,也给数学带来了一场大变革,它解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题(即倍立方问题三等分任意角问题化圆为方问题)。

倍立方问题

三等分任意角问题

化圆为方问题

然而,人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道,π + e、π - e、π·e、π/e这些数是否是超越数。。。

尽管如此,人们还是普遍相信它们都是超越数,毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

小天:嗯,有道理。。。不过,“超越数”这个词有点“辣眼睛”啊。

超模君:你以为讲到超越数就完了?还有更“辣眼睛”的数呢。。。

事实上,π的小数部分展开看上去是毫无规律的,但毕竟还是有办法算出来的。

可以说,如果想知道 π 的小数点后第一亿位是多少,人们总能在有限的时间里算出结果来。

数学的探索总是那么让人着迷!!!

就在1975年,数学家格里高里·蔡廷(算法信息论创始人)研究了一个很有趣的问题:任意指定一种编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止(不会无限运行下去)的概率是多大?

他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”(Chaitin's constant)。

这听起来有点不可思议,但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数(uncomputable number)。

也就是说,虽然蔡廷常数是一个确定的数字,但现已在理论上证明了,它是永远无法被求出来的。。。

小天背脊一凉:哈哈……不可计算数……不可计算…………

超模君(根本停不下来):其实还有一个“更大的boss”。。。

虽然蔡廷常数是算不出来的,但是我们却知道蔡廷常数是什么,至少它有一个明确的定义。

然而,你仔细想想,会不会存在一种我们完全无法给它定义的一类数呢?

细思极恐,很显然,这类数是存在的。

至于原因,其实很简单:长度有限的文字段落是可以逐一枚举的(虽然有无穷多),而全体实数是不能枚举的,因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数(undefinable number)。。。

此时的超模君根本停不下来。。。

听完这一切的小天一脸懵逼。。。

不过仔细想想:(zhuang)(bi)给11岁的表妹

本文由超级数学建模编辑整理

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