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半圆的面积公式 圆的面积怎么算

发布者:刘原
导读我们常常说学习要见微知著,见一知百。如果做一道题可以抵得上十道题,我们就没有必要做十道题。好好把一道题学懂学透就足够了。今天要讲的这道题,非常经典,它几乎可以用到小学阶段解决面积问题所有的方法。如果你

我们常常说学习要见微知著,见一知百。如果做一道题可以抵得上十道题,我们就没有必要做十道题。好好把一道题学懂学透就足够了。

今天要讲的这道题,非常经典,它几乎可以用到小学阶段解决面积问题所有的方法。如果你把这道题目学透了,小学面积问题至少掌握一半,那是没有疑问的。

来看题目:

正方形的边长为2,以正方形四条边为直径画四个半圆,形成如下图形,求阴影部分面积?

正方形边长为2

首先,仔细观察图形。(谨记,做图形题目的重要前提就是要认真观察,发现图形的特点。)

发现该图形的几个特点:

1、整体部分是一个边长为2的正方形

2、正方形里面有4个半径为1的半圆

3、该图形上下左右皆为轴对称图形

4、阴影部分像一个四叶草,由4片叶子组成,每一片都是两个半圆的重叠部分

5、空白部分分为4块,每一块都完全一样

好,看到了这些特点之后,我们就可以做题了。

首先,方法一,直接计算。

将每一叶均分成两半

如图,将四叶草的每一片叶子分成两半,得到上图的阴影部分面积

S=1/4圆-三角形OAB=1/4×π-1/2

所以阴影部分S=8×(1/4×π-1/2)=2π-4

既然直接计算是一种方法,那么是不是还有种方法叫间接计算呢?

对。我们来看第二种方法:间接计算

注意看空白部分1和2

观察发现:空白部分1和2,正好等于正方形面积减去两个半圆面积。所以

S空白=(4-π)×2=8-2π

S阴影=正方形面积-S空白=4-(8-2π)=2π-4

通过上面两种方法,我们有了把图形分块的意识,那我们干脆一不做二不休,把分块继续进行下去。

方法三,图块细分组合法

细分成8块

如图,我们把图形细分成8块,分别是空白部分1、 2 、 3、 4 ,阴影部分a、b、c、d,每部分面积均相等。阴影部分每部分面积记为S1,空白部分每部分记为S2。

则有:

阴影部分面积=4S1,

正方形面积=4S1+4S2,

半圆面积=2S1+S2,

两个圆面积=8S1+4S2,

通过上面几个式子得到: 阴影部分面积=两个圆面积-正方形面积=2π-4

前面已经通过观察发现,阴影部分图形是4个半圆的重叠部分,且4个半圆组成的整体图形是正方形。关于重叠部分面积计算,可以用到容斥原理。容斥原理什么意思呢?我们简单推道一下:

重叠面积怎么算

如图,矩形1和矩形2有部分重叠,重叠部分是C,空白部分分别是A和B。C的面积怎么算?

我们用前面的分块组合方法表示各部分面积。

两个图形有重叠部分,那么两个图形面积相加,重叠部分就计算了两次,得到的面积比最后形成的图形面积多加了一个重叠部分面积。所以

重叠部分面积=各个图形面积相加-重叠后形成的图形面积,用公式表示就是

S1=A+C S2=C+B S总=A+C+B 得到Sc=S1+S2-S总

方法4、直接用容斥原理会了,直接用公式:

重叠面积=4个半圆面积相加-最后形成的正方形面积=2π-4

当然,这道题也可以用拼补法,剪切后拼成新图形进行计算。

方法5:拼图法

如图:

把上边两个1/4圆移到下边来

如上图:通过一个图形移动,平成一个圆形,圆形中间是个小正方形,小正方形对角线是原来正方形的边长。

从图中容易得出阴影部分面积=2(圆面积-小正方形面积)=2(π-2)=2π-4

以上就是本题主要可以用到的方法。当然,我们在选择方法的时候,尽量选择最简单的。对于这道题,拼图的方法就不适用,相对来说更复杂。

这道题你学会了吗?如果你也有其他方法,欢迎把你的方法分享出来,讨论讨论。