斐波那契数列
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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,看到这一数列,相信大家都可以发现它的规律,后一个数学都是前两个数字之和.这就是斐波那契数列,它是由意大利数学家
列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖问题而发现的,故这一数列又被称为“兔子数列",
通项公式:
它的每一项都是整数,而通项公式却是由无理数学构成.
通项公式的求解方法很多,这里列几个比较简单易懂的进行分析.
此时
方法一:待定系数法构造等比数列2(初等代数解法)设
得
构造方程
解得
,所以
由(1)(2)式得
化简可得
方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)
设常数
,
使得
则
,
时,有
……
联立以上n-2个式子,得:
∵
,
上式可化简得:
那么
……
(这是一个以
为首项、以
为末项
为公比的等比数列的各项的和)。
,
的解为
则
方法三:利用特征方程(线性代数解法)
线性递推数列的特征方程为:
解得
,
.则
∵
∴
解得
黄金分割数列:没错,斐波那契数列又叫黄金分割数列,它们有什么关系呢?
当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618)。不信可以算一算!
1÷1=1,1÷2=0.5,2÷3=0.666...,3÷5=0.6,5÷8=0.625…………,55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面,这些比值越接近黄金比.
证明
两边同时除以
得到:
。若
的极限存在,设其极限为x,
则
。
所以
。
由于
解得
所以极限是黄金分割比。
它还有什么特性呢?
斐波那契数列的整除性与质数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除,
每4个连续的数中有且只有一个被3整除,
每5个连续的数中有且只有一个被5整除,
每6个连续的数中有且只有一个被8整除,
每7个连续的数中有且只有一个被13整除,
每8个连续的数中有且只有一个被21整除,
每9个连续的数中有且只有一个被34整除,
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是质数:5,13,89,233,1597,28657(第19位不是)
斐波那契数列的质数无限多吗?
斐波那契数列与矩形面积的生成相关,由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。
斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形,由于斐波那契的递推公式,它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式:
杨辉三角中有斐波那契数学
自然界中“巧合”
自然界中的斐波那契数列和黄金分割点
斐波那契数列在自然科学的其他分支,有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。1992年,两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验,证实了在系统保持最低能量的状态下,花朵会以斐波那契数列长出花瓣。