现在小学作业有多难？

今天的题目是综合应用题，这是一位来自小学5年级小朋友的作业。这道题问的是最少需要多少种，仅构造出满足条件的数容易，但要严格证明最少很难。严重怀疑小朋友的老师会不会证明，或者老师根本就想错了。

题目（超5星难度）：

有1000名学生，学号分别为000、001、002、003、…、999。学校想订做一批书包发给每名学生，书包上有一个两位数的标志，两位数可以是00、01、…、99中的全部或一部分。负责此事的王老师想让每一名学生书包上的两位数，恰好等于其学号的三位数中任意删去一位数。比如学号为932的学生，书包上可以是93、92或32中的任一个。如果每一名学生只发一个书包，要实现王老师的想法，书包上的数字最少需要有多少种？

辅导方法：

将题目写给孩子，

让他自行思考解答，

若一小时仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明书包上最少需要有n种数字，

需要说明两点：

一是要说明少于n种数字不可行，

二是要构造出n种数字满足条件。

但这道题中n的值很不好猜，

只能通过计算得到n的值。

总的解题思路是：

先思考n的值是多少，

最后构造出n种数字满足情况。

注：这道题步骤1的证明非常难，

对将来不是来走竞赛路线的孩子，

建议跳过步骤1直接看步骤2；

对将来想走竞赛路线的牛娃，

花点时间弄懂步骤1很有必要。

步骤1：

先思考第一个问题，

n的值是多少？

由于000、111、222、…、999的存在，

书包第二位数是0到9的都应该有。

对于所有能满足条件的两位数组合，

按第二位数的不同进行分类，

把两位数分为10种类型，

根据最小值原理，

这10种类型中，

总有一种类型对应的两位数最少。

有对称性，

不妨假设第二位是0的两位数最少，

且这类两位数有p个数，

不妨设这p个数是00、10、…、q0,

其中q=p-1。

则当A,B都是大于p-1的个位数时，

所有形如AB0的三位数学号的学生，

都只能背着数字为AB的书包，

这种书包中的A有10-p个不同的数，

B也是有10-p种不同的的数，

根据乘法原理，

这部分学生就会用(10-p)2个两位数，

这些两位数都大于等于p。

另一方面，

对第二位小于p的p类两位数，

每一类中都至少有p个数，

即第二位小于p的两位数至少p2个，

这些两位数都和上面(10-p)2个不重复。

故用到的两位数至少有p2+(10-p)2个。

由于(a+b)2≤2a2+2b2

p2+(10-p)2≥(p+10-p)2/2=50。

这说明用到的两位数不可能少于50个，

因此n的值是50。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目的答案。

下面构造出50个两位数满足要求，

考虑两位数全部是奇数或全部是偶数的，

由于0到9中奇数和偶数都是各有5个，

故两位全部是奇数的有5*5=25个，

两位全部是偶数的也是有5*5=25个，

这样恰好有50个两位数。

对任意一个三位数ABC，

根据鸽笼原理，

要么奇数不少于2位要么偶数不少于2位，

删去一位数后总能变成这50个数之一。

因此这50个两位数能满足条件，

结合步骤1的结论可得，

原题目的答案是50。

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