文 | Chris Budd and Cathryn Mitchell

译 | 小编Hurricane

什么是反问题呢？反问题（又称逆问题）是数学上的侦探类问题。举个例子，反问题是在你只知道一个物体的投影的情况下试图寻找到它的形状。那做这件事情是否是可能的？可能会有哪些误差项？还必须有哪些已知条件？

为了解决这个反问题，我们需要建立事件的数学模型----首先理解什么原因导致什么结果，然后我们利用数学模型由已知结果给出可能的原因，例如推断是什么形状的物体会留下如图示中的阴影？在这种情况下，我们也需要利用数学知识给出模型的限制条件和结果的准确度。就像物体投射下影子，不同的原因（不同形状的物体）可能给出非常相似的结果（有相似的投影）！

不同形状的物体投射下相似的影子

1 打击犯罪中的反问题

反问题广泛应用于

• 土地或海洋的遥感图像

• 诊断肿瘤的医学成像

• 勘探石油

土地或海洋的遥感图像

诊断肿瘤的医学成像

勘探石油

通常情况下，你可能不会第一时间联系到数学中反问题的一个例子是：打击犯罪。

发生一起犯罪案件后，警察必须察看犯罪现场留下的所有证据，然后反推这里发生了什么，是谁做的。众所周知，证据是一个物理过程的结果---就像一辆超速行驶的汽车会留下打滑痕迹一样。因此，要找出证据的确切原因---汽车的速度，就需要把描述物理学的数学运算倒推回去。这就意味着解决一个反问题。让我们走进一个警局的日常生活来看看数学是怎么帮助打击犯罪的。我们正在调查一起车祸，并且需要回答这个问题：汽车超速了吗?

汽车的轮胎打滑痕迹

现有的证据是肇事车辆的碰撞痕迹，目击证人证词和轮胎打滑痕迹。通过检查轮胎打滑痕迹可以帮助重建此事故。这些痕迹是由车速、制动力、与路面摩擦、与其他车辆碰撞等因素造成的。

我们利用数学的动力学对此次案件进行建模。滑痕长度设为, 汽车速度为，重力加速度，摩擦系数乘以制动效率为。模型将事件的原因（汽车的速度）和结果（滑痕的长度）相联系，它们之间的关系是：

则给定打滑距离，只要我们准确测定摩擦系数乘以制动效率的参数，我们就能从汽车的滑痕长度推断出它的速度，通常是给出一个下限，也就解决了我们的问题。

2 医学物理CAT

数学可以挽救您的生命吗？Of course it can!数学应用在许多与人类健康相关的领域。数学中的反问题也体现于此。

从20世纪开始使用射线开始，现代医学就严重依赖于成像方法。成像方法基本上有两种形式：射线和超声波方法使用位于人体外部的辐射源，辐射穿过人体后被探测器接收，并根据其被吸收的方式形成图像。当使用射线时，这一过程被称为计算机轴向断层扫描(computerised axial tomography，简称CAT)。在扫描仪中，病人的身体通过设备中间的孔。这个孔包含一个围绕病人旋转的射线源。来自放射源的射线穿过患者并在另一侧被探测器检测到。仪器可以精确测量射线的强度水平并对结果进行处理。接下来我们将详细介绍这个过程。

头部CAT扫描

在深入研究医疗科学原理前，我们先从一个数独游戏的例子讲起，它阐释了断层成像的原理。想象一下，有一个以3×3网格排列共9个小格的托盘，托盘的每个小格都有一个瓶子，它可能装有牛奶或果汁或空瓶子。问题来了：这些小格中分别是哪种类型的瓶子？

值得注意的是，我们只可以从侧面观察瓶子，并可以测量不同方向吸收了多少光。不同类型的瓶子吸收的光强不同：牛奶瓶吸收3个单位，果汁瓶吸收2个单位，空瓶吸收1个单位。如果光束穿过多个瓶子，吸收量累加。例如，如果光束先穿过牛奶瓶再穿过果汁瓶，则吸收5个单位；如果它穿过三个空瓶子，则将吸收3个单位。下图中我们给出了每行每列光照射后总的光吸收量。

每行每列的光吸收量

由图可知，第一行的单位总和等于5，第二行的光吸收单位为6，以此类推，中间的那列有3个瓶子，并且只吸收了3个单位的光，那唯一的方案就是该列每个小格放置了一个空瓶（每个空瓶吸收一个单位的光）。那其他小格呢？抱歉，我们还没有足够的信息推断出，以下是两种可能的放置方案：

两种放置方案

对于一个数学家来说，我们陷入一种不寻常的境地---我们对同一个问题有两个完全合理的解决方案。这样的问题称为不适定问题，这种情况在我们试图从图像中提取信息的情况下是很常见的。为了准确知晓这些瓶子是如何放置在托盘上的，我们需要输入一些额外的信息。例如我们还可以测量的是光在两个对角线的吸收量：从左上角到右下角有6个单位被吸收，从左下角到右上角有3个单位被吸收。从这个信息可清楚地判断，第一个解与所做的测量结果是一致的。所以，如果我们能够精确地测量出每行、每列和对角线上光吸收量，那么我们就可以唯一确定瓶子在托盘内的排列。

这个问题看似微不足道，但其实它与我们接下来描述的医学成像问题非常相似，并说明获取足够的事件信息以确保我们可确切地推断正在发生的事件。

下图为几束射线照射一个身体的过程。当射线的剂量。

几束X射线照射一个物体并被探测器所接受，射线强度在探测器上测量。（病人的身体用圆形表示）

当射线穿过人体时，它沿直线移动，并且其总吸收量是它通过的不同材料吸收量的总和。要具体了解怎么吸收，我们可以利用微积分。假设射线沿直线移动，并且进入人体的距离为时，其强度为。随着的增大，射线被吸收，减小。现在，如果射线移动了一段非常短的距离，强度的减小量为。这种效应取决于射线的强度和材料的密度，假设足够小，那么：

且

射线的衰减信息可以反映人体的一些信息。下图，我们看到由多束

几束射线照射一个物体并被探测器所接受，射线强度在探测器上测量

下图显示的是射线到达探测器时的强度。穿过物体全宽度的强度最低，位于图的凹陷处；没有被人体吸收的光线强度最高，因为其传播的距离最短，如图的两个尖峰反映了这一点。在边缘的地方，强度下降了，反映出相应的光线传播的距离较长。

射线到达探测器时的强度

然而，计算机轴向射线断层扫描的原理在于，通过观察尽可能多的射线的衰减，发现更多身体的信息，而不仅仅是它的尺寸。因此，我们需要考虑不同角度和到物体中心的距离处的射线的数量。参见下图：

射线到达探测器时的数量

射线的位置为，其光密度为，则：

其中为射线的距离。在这种情况下，

被称为函数的变换（拉东变换）。越大，该方向的射线被吸收的越多。这一变换是CAT扫描仪和Johann Radon）于1917年首次提出。通过从尽可能多的角度测量

顺带提一句，这与上一节我们的牛奶问题完全相同。回答是肯定的，只要我们能够进行足够精确的测量。找到的一种方法称为滤波反投影算法,在此不赘述了。

以上只是两个反问题的例子，数学可以帮助我们从结果中反推---无论是汽车打滑的痕迹还是来自CAT扫描中检测到的

参考文献：

[1]https://plus.maths.org/content/fighting-crime-inverse-problems

[2]https://plus.maths.org/content/saving-lives-mathematics-tomography

原标题：这个问题，反了它了，那什么是反问题呢？

编辑：xx